The martingale strategy fails even with unbounded stopping time, as long as there is a limit on earnings or on the bets (which is also true in practice). [1] It is only with unbounded wealth, bets and time that it could be argued that the martingale becomes a winning strategy. The impossibility of winning over the long run, given a limit of the size of bets or a limit in the size of one's bankroll or line of credit, is proven by the optional stopping theorem. [1] Mathematical analysis of a single round Edit. Let q be the probability of losing (e.g. for American double-zero roulette, it is 20/38 for a bet on black or red).
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